Как вычислить работу силы. Определение работы силы с помощью интеграла. Примеры решения задач

Вы знаете, что такое работа? Вне всякого сомнения. Что такое работа, знает каждый человек, при условии, что он рожден и живет на планете Земля. А что такое механическая работа?

Это понятие тоже известно большинству людей на планете, хотя некоторые отдельные личности и имеют довольно смутное представление об этом процессе. Но речь сейчас не о них. Еще меньшее число людей имеют представление, что такое механическая работа с точки зрения физики. В физике механическая работа - это не труд человека ради пропитания, это физическая величина, которая может быть совершенно никак не связана ни с человеком, ни с другим каким-нибудь живым существом. Как так? Сейчас разберемся.

Механическая работа в физике

Приведем два примера. В первом примере воды реки, столкнувшись с пропастью, шумно падают вниз в виде водопада. Второй пример - это человек, который держит на вытянутых руках тяжелый предмет, например, удерживает надломившуюся крышу над крыльцом дачного домика от падения, пока его жена и дети судорожно ищут, чем ее подпереть. В каком случае совершается механическая работа?

Определение механической работы

Практически все, не задумываясь, ответят: во втором. И будут неправы. Дело обстоит как раз наоборот. В физике механическая работа описывается следующими определениями: механическая работа совершается тогда, когда на тело действует сила, и оно движется. Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и пройденному пути.

Формула механической работы

Определяется механическая работа формулой:

где A - работа,
F - сила,
s - пройденный путь.

Так что, несмотря на весь героизм уставшего держателя крыши, проделанная им работа равна нулю, а вот вода, падая под действием силы тяжести с высокого утеса, совершает самую, что ни на есть, механическую работу. То есть, если мы будем толкать тяжелый шкаф безуспешно, то проделанная нами работа с точки зрения физики будет равна нулю, несмотря на то, что мы прикладываем много сил. А вот если мы сдвинем шкаф на некоторое расстояние, то тогда мы проделаем работу, равную произведению приложенной силы на расстояние, на которое мы передвинули тело.

Единица работы - 1 Дж. Это работа, совершенная силой в 1 ньютон, по передвижению тела на расстояние в 1 м. Если направление приложенной силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу. Пример - это когда мы толкаем какое-либо тело, и оно двигается. А в случае, когда сила приложена в противоположную движению тела сторону, например, сила трения , то данная сила совершает отрицательную работу. Если же приложенная сила никак не влияет на движение тела, то сила, совершаемая этой работой, равна нулю.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Работа силы.

2. Консервативные силы.

2. Мощность.

3. Примеры вычисления работы.

4. Потенциальная энергия

5. Кинетическая энергия

6. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

7. Теорема моментов.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении,вводится понятие о работе силы.

Рис.1

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds . Элементарной работой силы (рис.1) называется скалярная величина:

,

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds - бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая влиять не будет,т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что , получаем:

.(1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа dA = Fds .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа dA =- Fds .

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Положительную силу F (α > 90 ° ) называют движущей , а отрицательную (α > 90 ° ) – силой сопротивления .

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие по направлениям координатных осей (рис.2; сама сила на чертеже не показана).

Рис.2

Элементарное перемещение слагается из перемещений dx , dy , dz вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М . Тогда работу силы на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих на перемещениях dx , dy , dz .

Но на перемещении dx совершает работу только составляющая , причем её работа равна F x dx . Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично.

Окончательно находим: dA = F x dx + F y dy + F z dz .

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М 0 М 1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

Следовательно, работа силы на любом перемещении М 0 М 1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям пере­менных интегрирования в точках М 0 и М 1 . Графически площадь под всей кривой М 0 и М 1 и будет искомой работой.

Рис.3

Если величина постоянна (, то и обозначая перемеще­ние М 0 М 1 через получим: .

Такой случай может иметь место,когда действующая силапостоянна по модулю и направлению (F = const ), а точка, к ко­торой приложена сила, движется прямолинейно (рис.3). В этом случае и работа силы .

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж = 1 Н ∙ м ). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути.

Консервативные силы .

Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной , если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.3.1): А 1В2 = А 1С2 = А 12 .

Рис.3.1

В случае, если тело движется в обратном направлении А 12 = –А 21 , т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза):

Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными . К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.

Мощность.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

где t - время, в течение которого произведена работа A . В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной состав­ляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт = 1 дж /сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм /сек или 736 вт.

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6 ∙ 10 6 дж ≈ 367100 кГм ).

Из равенства видно, что у двигателя, имеющего дан­ную мощность W , сила тяги будет тем больше, чем меньше ско­рость движения V . Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяю­щие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и раз­вивать большую силу тяги.

Примеры вычисления работы.

Рассмотренные ниже при­меры дают результаты, которыми можно непосредственно пользо­ваться при решении задач.

1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести , перемещается из положения М ­0 ( x ­ 0 , у 0 , z 0 ) в положение M 1 (х 1 , у 1 , z 1 ). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.4).

Рис.4

Тогда Р x =0, Р y =0, P z = -Р . Подставляя эти значения и учитывая перемен­ную интегрирования z :

Если точка M 0 выше М 1 , то , где h -величина вер­тикального перемещения точки;

Е сли же точка M 0 ниже точки M 1 то .

Окончательно получаем: .

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со зна­ком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной , и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обла­дающие таким свойством, назы­ваются потенциальными.

2) Работа силы упругости . Рассмотрим груз М , лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис.5,а). Отметим на плоскости точкой О поло­жение, занимаемое концом пружины, когда она не напряже­на (- длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О , удлинив пружину до величины l , то на груз будет действовать сила упругости пружины F , направленная к точке О .

Рис.5

По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины . Так как в нашем случае , то по модулю

Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэф­фициент с численно равным силе, которую надо приложить к пру­жине, чтобы растянуть ее на 1 см .

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение Так как в данном случае F x =- F =- cx , F y = F z =0, то получим:

(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.20, б), вычисляя площадь заштрихованной на чертеже тра­пеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представ­ляет собою начальное удлинение пружины , а конечное удлинение пружины . Следовательно,

т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффи­циента жесткости на разность квадратов начального и конеч­ного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда , т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрица­тельной, когда , т.е. конец пружины удаляется от равновесия положения. Можно доказать, что формула ос­тается справедливой и в случае, когда пе­ремещение точки М не является прямо­линейным.

Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значе­ний и и не зависит от вида траектории точки М . Следовательно, сила упругоститакже является потенциальной.

Рис.6

3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис.6) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN , где f - коэффициент трения, а - нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F тр =- fN и по формуле

Если величина силы трения постоянна, то , где s -длина дуги кривой М 0 М 1 по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна . Величина этой работы зависит от длины дуги М 0 М 1 . Следовательно, сила трения является силой непотенциальной .

4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

В этом случае (рис.7) точка приложения силы движется по окружности радиуса r . Элементарная работа, по (1), , где .

Рис.7

Поэтому .

Но .

Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (рис. 7). (Моменты сил и равны нулю). Значит,

(2)

В частности, если момент силы относительно оси , работа силы при повороте тела на угол равна

.(3)

Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.

Из формулы (3) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом m расположена в плоскости перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол

.(4)

Если же пара сил действует в плоскости не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Одну расположить в плоскости перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента по соответствующим направлениям: . Конечно работу будет совершать только первая пара с моментом , где – угол между вектором и осью вращения z ,

.(5)

Энергия .

Мерой поступательного движения является импульс тела, но эта характеристика не универсальная. Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия . Формы энергии: механическая, тепловая, электрическая, ядерная, внутренняя и др. Энергия из одной формы может переходить в другую. Энергия механической системы количественно характеризует ее с точки зрения возможных количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы между собой и с внешними телами. Таким образом, движение и энергия неразрывно связаны между собой, а т.к. движение является неотъемлемой частью материи, то всякое тело обладает какой-либо энергией.

Кинетической энергией тела называют энергию, являющуюся мерой его механического движения и определяемую работой, которую надо совершить, чтобы вызвать это движение.

Если под действием силы тело из состояния покоя приходит в движение со скоростью , то будет совершаться работа, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы:

где - перемещение; dA – элементарная работа.

С учетом скалярной записи второго закона Ньютона:

Получим

А так как совершаемая работа равна приращению энергии, то

Полная энергия находится путем интегрирования, при изменении скорости от 0 до некоторого значения V :

Кинетическая энергия всегда положительна . Кинетическая энергия системы материальных точек равна алгебраической сумме кинетических энергий всех материальных точек системы.

Кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета, т.к. в различных инерциальных системах отсчета скорость неодинакова.

Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел, действующих друг на друга.

Часть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем.

Причем, эта сила определяетсяспомощью силовой функции u = u (x , y , z ). Если она не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное.

Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производные от силовой функции по соответствующим координатам

то такое поле называется потенциальным.

Если работа зависит от траектории, то силы называются диссипативными (сила трения).

Вычислим работу силы потенциального поля при перемещении точки из положения М 1 в положение М 2. (рис. 8).

Рис.8

Элементарная работа,

Это есть полный дифференциал силовой функции.

Работа на конечном перемещении

где u 2 и u 1 – значения силовой функции в точках М 2 и М 1 .

Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траектории движения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и конечном положениях точки.

Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силы будет равна нулю. Работа окажется равнойнулю и при переходе в другую точку М 3 , если там значение силовой функции будет такое же, как и в начальном положении.

Нетрудно догадаться, что точки с одинаковыми значениями силовой функции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это слоеное пространство, состоящее из таких поверхностей (рис. 8). Эти поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями . Уравнения их: u ( x , y , z )= C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют, соответственно, потенциалом поля .

Конечно, эквипотенциальные поверхности не пересекаются. Иначе существовали бы точки поля с неопределенным потенциалом.

Поскольку, при перемещении точки по эквипотенциальной поверхности работа силы равна нулю, то вектор силы перпендикулярен поверхности.

Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем ее нулевой поверхностью (положим у нее u = u 0 ).

Работа, которую совершит сила при переходе точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией точки в этом определенном месте М:

Если тело находится в потенциальном поле сил, то оно будет обладать потенциальной энергией. Потенциальную энергию тела, связанного с нулевым уровнем системы отсчета, принимают нулевой, а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

По (8) силовая функция . Поэтому проекции силы на декартовы оси, по (6), так как ,

и вектор силы .

Рассмотрим несколько потенциальных полей.

1) Поле силы тяжести.

Вблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова , равна весу тела. Значит, это силовое поле однородное. Так как при перемещении точки в горизонтальной плоскости работа силы равна нулю, то эквипотенциальными поверхностями будут горизонтальные плоскости (рис. 9), а уравнения их: u = z = C .

Рис.9

Если нулевой поверхностью назначить плоскость xOy , то потенциальная энергия точки в положении М будет равна работе силы тяжести:

W П = A = Ph = mgh .

это энергия тела, поднятого над Землей на высоту h .

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то W П может в общем случае принимать и отрицательные значения (например, W П на дне шахты).

2) Поле упругой силы.

При деформации упругого тела, например пружины, появляется сила. То есть около этого тела возникает силовое поле, силы которого пропорциональны деформации тела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку М 0 , где находится конец недеформированной пружины (рис. 10).

Рис.10

Если перемещать конец пружины так, чтобы длина ее не изменялась, то работа упругой силы будет равна нулю. Значит эквипотенциальными поверхностями являются сферические поверхности с центром в точке О .

Назначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку М 0 , через конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия пружины в положении М : W П = A = 0,5 kx 2 .

При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (W П >0), и в растянутом, и в сжатом состоянии.

Полная механическая энергия системы равна энергии механического движения и энергия взаимодействия:

Полная механическая энергия тела при его перемещении вдоль любой траектории в потенциальном поле остается постоянной.

Пример 1. Автомобиль массы M движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v . Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен f k , радиус колес – r , сила аэродинамического сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: , где μ – коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.

Решение.

В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии будем иметь

где - элементарная работа движущей силы, - элементарная работа сил сопротивления движению. В установившемся режиме скорость v автомобиля постоянна и, следовательно, его кинетическая энергия не изменяется, т.е. dT =0. Это означает, что . Раскроем правую часть полученного равенства:

Здесь dS – элементарное перемещение автомобиля. Тогда мощность, передаваемая двигателем на оси ведущих колес, будет равна

Таким образом, при движении с постоянной скоростью по горизонтальной дороге двигатель автомобиля развивает постоянную мощность; соответственно, топливо в баке расходуется равномерно.

Пример 2. Стальной шарик сброшен с высоты H = 15 м без начальной скорости. Найти скорость шарика V в момент его удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

На шарик действует только сила тяжести, которая является потенциальной и ее потенциал явно от времени не зависит. Следовательно, в соответствии с (10), полная механическая энергия шарика при его движении будет постоянной

Так как в начальный момент времени шарик покоился и обладал только потенциальной энергией, то в момент удара о землю вся его начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию

Отсюда следует, что Результат решения этой задачи дает нам право утверждать, что скорость свободного падения тел не зависит от их массы.

Пример 3 . Рассмотрим свободное падение камня массой m , брошенного в поле гравитации Земли из точки 1 в точку 2 (рис. 11).

Рис.11

Элементарная работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня, равна:

Полная работа на участке 1–2 находится как

где F гр = mg – сила тяжести; тогда получаем:

Из последнего выражения видно, что работа определяется только положением начальной и конечной точек траектории тела.

Пример 4 . Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Известно, что сила упругости пропорциональна деформации x :

где k – коэффициент упругости; x – значение деформации; знак (–) указывает, что F упр направлена в сторону, противоположную деформации.

Для преодоления силы упругости необходимо приложить силу:

Элементарная работа – работа, совершаемая при бесконечно малой деформации:

Полная работа найдется как

Работа в данном примере идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Если при x = 0 W on = 0, то с = 0. Потенциальная энергия упругодеформированного тела равна

Пример 5 . Материальная точка массой m движется по оси О х в потенциальном силовом поле с энергией, зависящей от координаты x по закону: W р = - α x 4 , где α - положительная постоянная. Найти зависимость ускорения точки от координаты x .

Решение. Используя связь между силой и потенциальной энергией:

найдем зависимость силы от координаты x :

По второму закону Ньютона получим выражение для ускорения:

Если аналитически или графически задана зависимость потенциальной энергии от угла поворота при вращательном движении, то, применяя соотношение , можно выразить момент силы, а также найти угловое ускорение

Пример 6 . Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью v 0 = 54 км/ч, под действием силы трения F mp = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу A сил трения и расстояние S , которое вагон пройдет до остановки.

Решение.

1) Работа А , совершаемая результирующей силой, может быть определена как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

где W k = mv 2 /2=0.

Отсюда A =- W k 0 ;

A =-2,25 МДж

2) Расстояние

Ответ: Работа сил трения равна -2,25 МДж , расстояние которое вагон пройдет до остановки 375 м.

Пример 7 . На рисунке изображена зависимость проекции F x силы, действующей на материальную точку, от координаты х. Определить работу, совершенную при перемещении точки на расстояние 5 м.

Рис.12

Решение. Согласно условию сила зависит от координаты x . Работа переменной силы на участке от x 1 до x 2 равна

Геометрически интеграл можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной соответствующим участком графика, отрезком оси x и перпендикулярами, опущенными из конечных точек графика на ось абсцисс. На первом участке графика проекция силы F x отрицательна и работа тоже отрицательна. Численно она равна площади треугольника. На втором и третьем участках F x > 0, работы на этих участках положительны и вычисляются как соответствующие площади прямоугольника и треугольника. В результате имеем:

А = -(1 ∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 = 1,5 Дж.

Если задана зависимость момента силы от угловой координаты φ , то расчет работы производится по аналогичной формуле либо аналитически, либо графически.

Пример 8 . К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию W к будет иметь диск через время t = 5 c после начала действия силы?

Решение.

1) - кинетическая энергия диска;

2) ω = ε t - угловая скорость;

3)

4) Момент инерции для диска ;

6)Подставив данные, получим:

Ответ: Кинетическая энергия, через 5 с. после начала действия силы будет равна 1,9 кДж.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием при­ложенных к ней сил из положения M 0 , где она имеет скорость , в положение М 1 , где ее скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точ­ки М, направленную в сторону движения, получим:

Стоящую слева величину касательного ускорения можно пред­ставить в виде

В результате будем иметь:

Умножив обе части этого равенства на ds , внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - эле­ментарная работа силы F k получим выражение теоремы об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме:

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M 0 и M 1 , найдем окончательно:

Уравнение выражает теорему об изменении кине­тической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Пример 9 . По графику зависимости скорости от времени v (t ) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.13). Учесть, что АО = ОВ.

Рис.13

Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.

Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением Поскольку скорости частицы в моменты времени t =0 и t = τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю.

Пример 10 . Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.14). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б” ?

Рис.14

Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу.

Работа переменной силы определяется соотношением Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального.

Пример 11 . Два диска с равными массами, на разных размеров (R A = 2 R B ) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ.

Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A = ∆ W k . Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой

Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен z , в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

Вопросы для самопроверки

- Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

- Какие силы называют движущими?

- Какие силы называют силами сопротивления?

- Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?

- Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?

- Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

- Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

- Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

- Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

- Чему равна работа равнодействующей силы.

- Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

- Каково векторное выражение элементарной работы?

- Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

- Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

- В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

- Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

- На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.

- В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?

- Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?

- Что называется потенциалом консервативных сил?

- Какое поле называется потенциальным?

- Что называется силовой функцией?

- Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.

- Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?

- Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?

- Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?

- Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?

- Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?

- Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?

- Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?

- Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?

- Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?

- Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?

- Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?

- Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?

- В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?

- Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?

- Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?

- В чем заключается закон площадей?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине , определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?

- По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?

- Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?

- Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.

- При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?

- Каковы первая и вторая космические скорости?

- Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?

- Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?

- Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях?

- Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?

- Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?

- Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.

- Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?

- Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W =10 Дж . Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?

1) острый угол;

2) прямой угол;

3) тупой угол.

- Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?

1) увеличится в два раза;

2) увеличится в четыре раза.

- Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?

1) произведению силы тяжести на перемещение;

2) работа силы тяжести равна нулю.

- Закон сохранения механической энергии выполняется, если

1) сумма всех внутренних сил равна нулю;

2) сумма всех скоростей рана нулю;

3) сумма всех внешних сил;

4) сумма всех моментов внешних сил рана нулю;

5) при действии консервативных сил .

- Работа в механике равна

1)

1 ) силы, работы которых не зависят от формы пути;

2 ) силы, работы которых зависят от формы пути;

3 ) силы трения;

4 ) силы тяготения;

5 ) электростатические силы.

- Чему равна работа равнодействующей силы:

1 ) изменению кинетической энергии тела ;

2 ) кинетической энергии

Известную формулу из физики A = Fs для определения работы силы можно использовать лишь тогда, когда на тело воздействует постоянная сила, направленная по направлению движения. Однако часто требуется определить работу тогда, когда сила изменяется с пройденным путём. Например, чтобы растянуть пружину, нужно приложить силу, которая пропорциональна пройденному пути - удлиннению пружины.

Пусть тело перемещается по отрезку [a , b ] оси Ox , при этом проекция вектора силы на ось Ox является функцией F (x ) аргумента x . Чтобы определить работу, совершённую силой, разделим отрезок [a , b ] на n частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < ...x n = b . Таким образом, всё перемещение тела из a в b состоит из n участков пути.

Приложенная сила A будет равна сумме элементарных работ, совершённых при перемещении тела по каждому из участков пути.

Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F . Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F =kS , где k - постоянная. Будем выражать S в метрах, F - в килограммах. При S =0,01 F =1, то есть 1=k *0,01, откуда k =100, F =100S .

По формуле (1) определяем работу силы:

Пример 2. Сила F , с которой электрический заряд e 1 отталкивает заряд e 2 (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой

где k - постоянная.

Вычислить работу силы F при перемещении заряда e 2 из точки A 1 , отстоящей от e 1 на расстоянии r 1 , в точку A 2 , отстоящую от e 1 на расстоянии r 2 , полагая, что заряд e 1 помещён в точке A 0 , принятой за начала отсчёта.

Решение. По формуле (1) вычисляем работу силы:

.

При получим

.

При получим . Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом e 1 .

Пример 3. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.

30.2.1. Работа силы тяжести на

конечном перемещении точки её приложения

Пусть материальная точка
перемещается из положения
в положение
по произволь-ной траектории- см. рис.3.

Рисунок 30.3

.

Принято называть: - геодезическая высота начального положения точки;- геодезическая высота конечного положения точки;
- разность геодезических высот. Таким образом:

- работа, совершаемая силой тяжести, не зависит от формы траектории точки её приложения и равна произведению модуля силы тяжести на разность геодезических высот начального и конечного положений этой точки.

30.2.2. Работа упругой силы на конечном перемещении точки её приложения

На рис.30.4:
- тело, к которому приложена упругая сила ; - положение тела, соответствующее недеформированному состоянию пружины;

- координ

К выводу формулы для вычис-ления работы упругой силы

ата, определяющая некоторое текущее положение тела
.

В
соответствии с законом Гука
, где - жёсткость пружины, - величина её деформации. Изображённый на рис.30.4 треугольник называют эпюрой упругой силы.

Работу упругой силы при перемещении тела из некоторого деформированного состояния, определяемого координатой , в недеформи-рованное (
), называют полной работой упругой силы.

Рисунок 30.4

полная работа упругой силы (при переведении упругого элемента в недеформированное его состояние) определяется формулой

.

Неполная работа упругой силы (допустимо сокращение: «работа упругой силы») – это работа, совершаемая упругим элементом при переходе из одного своего деформированного состояния в другое. Ясно, что:

работа упругой силы равна площади той части треугольной своей эпюры, которая расположена между координатами, отличающими одно деформированное состояние упругого элемента от другого.

30.2.3. Работа гравитационной силы

Н

К выводу формулы для вычисления работы гравитационной силы

а рис.30.5:
- притягивающий центр (Земля, Солнце и т.д.); - притягиваемая масса; - сила притяжения, определяется по закону Ньютона:
. Ось начинается в
, - некоторое конечное значение координаты .

Полная работа гравитационной силы (
) – это работа, которую она совершит при перемещении притягиваемой массы из бесконечности в положение, определяемое расстоянием . Выведем формулу для её

Рисунок 30.5

вычисления:

полная работа гравитационной силы (совершаемая ею при перемещении притягиваемой массы из бесконечности в положение, определяемое расстоянием от притягивающего центра) определяется формулой
.

Самостоятельно получите результат:

работа гравитационной силы, затрачиваемая на перемещение притягиваемой массы из положения в определяется формулой

.

30.3. Формулы для вычислений суммарных мощностей сил, действующих на твёрдые тела

30.3.1. Случай поступательного движения

Мощности, развиваемые отдельными силами:

Т.к. тело движется поступательно, то

просто .

Поэтому суммарная мощность:

суммарная мощность сил, приложенных к поступательно движущемуся телу, определяется как мощность отдельной силы, равной главному вектору действующих на это тело сил и точка приложения которой перемещается со скоростью тела.

8.3.2. Случай сферического движения

суммарная мощность сил, приложенных к сферически движущемуся телу, определяется как мощность отдельной, приложенной к этому телу, пары сил, момент которой равен главному моменту действующих на тело внешних сил.

30.3.3. Случай вращательного движения

Вращательное движение – частный случай сферического.

Пусть осью вращения является . Тогда

суммарная мощность сил, приложенных к вращательно движущемуся телу, определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на проекцию угловой скорости на ту же ось.

При решении конкретных задач часто приходится иметь дело с постоянными моментами сил и, при этом, определять их работу на конечных перемещениях. Применительно к такому случаю имеем:

(после интегрирования)
, т.е.:

суммарная работа сил на конечном повороте тела определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на произошедшее приращение угловой координаты.

Каждое тело, совершающее движение, можно охарактеризовать работой. Иными словами, она характеризует действие сил.

Работа определяется как:
Произведение модуля силы и пути пройденного телом, умноженное на косинус угла между направлением силы и движения.

Работа измеряется в Джоулях:
1 [Дж] = = [кг* м2/c2]

К примеру, тело A под действием силы в 5 Н, прошло 10 м. Определить работу совершенную телом.

Так как направление движения и действия силы совпадают, то угол между вектором силы и вектором перемещения будет равен 0°. Формула упроститься, потому что косинус угла в 0° равен 1.

Подставляя исходные параметры в формулу, находим:
A= 15 Дж.

Рассмотрим другой пример, тело массой 2 кг, двигаясь с ускорением 6 м/ с2, прошло 10 м. Определить работу проделанную телом, если оно двигалось по наклоненной плоскости вверх под углом 60°.

Для начала, вычислим какую силу нужно приложить, что бы сообщить телу ускорение 6 м/ с2.

F = 2 кг * 6 м/ с2 = 12 H.
Под действием силы 12H, тело прошло 10 м. Работу можно вычислить по уже известной формуле:

Где, а равно 30°. Подставляя исходные данные в формулу получаем:
A= 103, 2 Дж.

Мощность

Множество машин механизмов выполняют одну и ту же работу за различный промежуток времени. Для их сравнения вводится понятие мощности.
Мощность – это величина, показывающая объем работы выполненный за единицу времени.

Мощность измеряется в Ватт, в честь Шотландского инженера Джеймса Ватта.
1 [Ватт] = 1 [Дж/c].

К примеру, большой кран поднял груз весом 10 т на высоту 30 м за 1 мин. Маленький кран на эту же высоту за 1 мин поднял 2 т кирпича. Сравнить мощности кранов.
Определим работу выполняемую кранами. Груз поднимается на 30м, при этом преодолевая силу тяжести, поэтому сила, затрачиваемая на поднятие груза, будет равна силе взаимодействия Земли и груза(F = m * g). А работа – произведению сил на расстояние пройденное грузами, то есть на высоту.